inftheory.tex

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   2
   3 %% Any copyright is dedicated to the Public Domain.
   4 %% https://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
   5 %% Written by Francois Fleuret <francois@fleuret.org>
   6
   7 \documentclass[10pt,a4paper,twoside]{article}
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  22 \usepackage[round]{natbib}
  23
  24 \usepackage{mleftright}
  25
  26 \newcommand{\setmuskip}[2]{#1=#2\relax}
  27 \setmuskip{\thinmuskip}{1.5mu} % by default it is equal to 3 mu
  28 \setmuskip{\medmuskip}{2mu} % by default it is equal to 4 mu
  29 \setmuskip{\thickmuskip}{3.5mu} % by default it is equal to 5 mu
  30
  31 \setlength{\parindent}{0cm}
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  33 %\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
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  36
  37 \def\argmax{\operatornamewithlimits{argmax}}
  38 \def\argmin{\operatornamewithlimits{argmin}}
  39 \def\expect{\mathds{E}}
  40
  41 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  42
  43 \begin{document}
  44
  45 Information Theory is awesome so here is a TL;DR about Shannon's entropy.
  46
  47 The field is originally about quantifying the amount of
  48 ``information'' contained in a signal and how much can be transmitted
  49 under certain conditions.
  50
  51 What makes it awesome IMO is that it is very intuitive, and like
  52 thermodynamics in Physics it give exact bounds about what is possible
  53 or not.
  54
  55 \section{Shannon's Entropy}
  56
  57 Shannon's entropy is the key concept from which everything is defined.
  58
  59 Imagine that you have a distribution of probabilities $p$ on a finite
  60 set of symbols, and that you generate a stream of symbols by sampling
  61 them one after another independently with that distribution.
  62
  63 To transmit that stream, for instance with bits over a communication
  64 line, you can design a coding that takes into account that the symbols
  65 are not all as probable, and decode on the other side.
  66
  67 For instance if $P('\!\!A')=1/2$, $P('\!\!B')=1/4$, and
  68 $P('\!\!C')=1/4$ you would transmit ``0'' for a ``A'' and ``10'' for a
  69 ``B'' and ``11'' for a ``C'', 1.5 bits on average.
  70
  71 If the symbol is always the same, you transmit nothing, if they are
  72 equiprobable you need $\log_2$(nb symbols) etc.
  73
  74 Shannon's Entropy (in base 2) is the minimum number of bits you have
  75 to emit on average per symbol to transmit that stream.
  76
  77 It has a simple analytical form:
  78 %
  79 \[
  80  H(p) = - \sum_k p(k) \log_2 p(k)
  81 \]
  82 %
  83 where by convention $0 \log_2 0 = 0$.
  84
  85 It is often seen as a measure of randomness since the more
  86 deterministic the distribution is, the less you have to emit.
  87
  88 The examples above correspond to "Huffman coding", which reaches the
  89 Entropy bound only for some distributions. A more sophisticated scheme
  90 called "Arithmetic coding" does it always.
  91
  92 From this perspective, many quantities have an intuitive
  93 value. Consider for instance sending pairs of symbols (X, Y).
  94
  95 If these two symbols are independent, you cannot do better than
  96 sending one and the other separately, hence
  97 %
  98 \[
  99 H(X, H) = H(X) + H(Y).
 100 \]
 101
 102 However, imagine that the second symbol is a function of the first
 103 Y=f(X). You just have to send X since Y can be computed from it on the
 104 other side.
 105
 106 Hence in that case
 107 %
 108 \[
 109 H(X, Y) = H(X).
 110 \]
 111
 112 An associated quantity is the mutual information between two random
 113 variables, defined with
 114 %
 115 \[
 116 I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(X,Y),
 117 \]
 118 %
 119 that quantifies the amount of information shared by the two variables.
 120
 121 \section{Conditional Entropy}
 122
 123 Conditional entropy is the average of the entropy of the conditional distribution:
 124 %
 125 \begin{align*}
 126 &H(X \mid Y)\\
 127  &= \sum_y p(Y=y) H(X \mid Y=y)\\
 128        &= \sum_y P(Y=y) \sum_x P(X=x \mid Y=y) \log P(X=x \mid Y=y)
 129 \end{align*}
 130
 131 Intuitively it is the [minimum average] number of bits required to describe X given that Y is known.
 132
 133 So in particular, if X and Y are independent, getting the value of $Y$
 134 does not help at all, so you still have to send all the bits for $X$,
 135 hence
 136 %
 137 \[
 138   H(X \mid Y)=H(X)
 139 \]
 140
 141 if X is a deterministic function of Y then
 142 %
 143 \[
 144   H(X \mid Y)=0.
 145 \]
 146
 147 And if you send the bits for Y and then the bits to describe X given
 148 that Y, you have sent (X, Y). Hence we have the chain rule:
 149 %
 150 \[
 151 H(X, Y) = H(Y) + H(X \mid Y).
 152 \]
 153
 154 And then we get
 155 %
 156 \begin{align*}
 157 I(X;Y) &= H(X) + H(Y) - H(X,Y)\\
 158        &= H(X) + H(Y) - (H(Y) + H(X \mid Y))\\
 159        &= H(X) - H(X \mid Y).
 160 \end{align*}
 161
 162 \section{Kullback-Leibler divergence}
 163
 164 Imagine that you encode your stream thinking it comes from
 165 distribution $q$ while it comes from $p$. You would emit more bits than
 166 the optimal $H(p)$, and that supplement is $D_{KL}(p||q)$ the
 167 Kullback-Leibler divergence between $p$ and $q$.
 168
 169 In particular if $p=q$
 170 %
 171 \[
 172  D_{KL}(p\|q)=0,
 173 \]
 174 %
 175 and if there is a symbol $x$ with $q(x)=0$ and $p(x)>0$, you cannot encode it and
 176 %
 177 \[
 178  D_{KL}(p\|q)=+\infty.
 179 \]
 180
 181 Its formal expression is
 182 %
 183 \[
 184 D_{KL}(p\|q) = \sum_x p(x) \log\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)
 185 \]
 186 %
 187 that can be understood as a value called the cross-entropy between $p$ and $q$
 188 %
 189 \[
 190 H(p,q) = -\sum_x p(x) \log q(x)
 191 \]
 192 %
 193 minus the entropy of p
 194 \[
 195 H(p) = -\sum_x p(x) \log p(x).
 196 \]
 197
 198 Notation horror: if $X$ and $Y$ are random variables $H(X, Y)$ is the
 199 entropy of their joint law, and if $p$ and $q$ are distributions,
 200 $H(p,q)$ is the cross-entropy between them.
 201
 202 \end{document}